Question

数学题，关于动点最值，答案解读？

x²+y²-2x+4y=0,则x-2y最大值和最小值

答案：设x-2y=c，代表一族k=½，截距为-c/2的直线。
根据直线与圆必有公共点，则圆心到直线距离d≤r，所以c∈[0,10]

请问，①为什么直线与圆必有公共点？
②求c的最大值，和截距-c/2有什么关系，截距越小，C越大吗？请解释下其中的逻辑，谢谢

Answer 1

（1）x-2y=c 中的 x、y 是来自于 x^2+y^2-2x+4y=0 的，
换句话说，这两个方程有公共解，表现在几何上，就是直线与圆有公共点。
（2）求 x-2y 的最值，设为 c 只是表述方便，顺便成了直线的方程，
所以才有了 -c/2 这样的所谓截距。
总体上，设 x-2y=c 后，一下子就把一个代数问题几何化了，这是数学化归思想的典型例证。

Answer 2

1. 动点（x,y）是圆上的点，过该点的直线肯定与圆有公共点。

2. 用直线的原因是求c的最值，变成求截距的最值。对于与圆相交/相切的斜率1/2的直线截距的最值很容易求出。实在不懂画个图吧！
   

Answer 3

①x-2y中取值(x，y)满足已知，即在已知圆上。同时在直线x-2y=c上。从而直线与圆必须有交点，也就要满足d≤r。
②由d≤r得含c的不等式，从而求得c的取值范围。由此决定c的最大小值，即答案。
与截矩-c/2可以无关。
实在有联系，是这样:截矩-c/2最大，则c最小；-C/2最小，则c最大。一一做这题不需要它。
一一一一一一一一
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Answer 4

方法一:利用参数方程来求。
∵x²+y²-2x+4y=0，
∴(x-1)²+(y+2)²=5，
这个圆的参数方程为:
{x=1+√5cosα
{y=-2+√5sinα，(x为参数)，则
x-2y=1+√5cosα-2(-2+√5sinα)
=5十√5(cosα-2sinα)
=5+5(1/√5cosα-2/√5sinα)
=5+5cos(α+φ)，其中tanφ=1/2，
∵-1≤cos(α+φ)≤1，
∴-5≤5cos(α+φ)≤5
∴0≤5+5cos(α+φ)≤10，
所以所求:
最小值为0，最大值为10。