Question

f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)不恒等于零,证明∫10|fn(x)|dx≥4max0≤x≤1|f(x)|

(∫10是1在右上0在右下 ；fn的n在f的右上角；4max在上面、0≤x≤1在下面）

Answer 1

是不是这道题：设f（x）在[0，1]上具有二阶连续导数f″（x），且f（0）=f（1）=0，f（x）≠0，试证：
∫ （1，0）|f″(x)/ f(x) |dx＞4．
证明：
因为（0，1）上f（x）≠0，所以可设：f（x）＞0，
而f（0）=f（1）=0，
并且f（x）在[0，1]上具有二阶连续导数，∃x0∈（0，1），对f（x0）有：
∫ （1，0)|f″(x) /f(x)|dx＞1/f(x0) ∫(1,0)|f″(x)|dx…①
在（0，x0）上应用拉格朗日定理：f′(α)＝f(x0)/ x0 其中α∈（0，x0），
在（x0，1）上用拉格朗日定理：f′(β)＝−f(x0) /(1−x0) ，其中β∈（x0，1），
∫(1,0)|f″(x)|dx≥∫ (β,α)|f″(x)|dx≥|∫ (β,α)f″(x)dx|＝|f′(β)−f′(α)| =f(x0) /x0(1−x0) ≥4f(x0)，
（因为[(a+b )/2]² ≥ab），
所以：1/f(x0) ∫ (1,0)|f″(x)|dx≥4，
由①得：∫ (1,0)|f″(x) /f(x) |dx＞4．

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示