Question

已知 x＞0，y>0，且2x+y=1,求证：1/x+1/y≥3+2√2

高2数学，写出步骤，要用高2的《综合法》或《分析法》来解，1/x表示x分之1 √表示根号。。

Answer 1

(a*a+b*b)(c*c+d*d)-(ac+bd)*(ac+bd)=aadd+bbcc-2abcd=(ad-bc)^2>=0
从而(a*a+b*b)(c*c+d*d)>=(ac+bd)*(ac+bd)
则1/x+1/y=(1/x+1/y)*(2x+3y)>=(根2+根3)的平方就是你写的那个式子
此时a=根号下(1/x),b＝根号下(1/y)，c=根号下(2x),d=根号下(3y)

Answer 2

x+2y=1
所以1/x+1/y=(1/x+1/y)(x+2y)
=1+2y/x+x/y+2
=3+(2y/x+x/y)
x>0,y>0
所以2y/x+x/y>=2√(2y/x*x/y)=2√2
当2y/x=x/y时取等号
x²=2y²
x=√2y,代入x+2y=1有正数解
所以等号能取到
所以2y/x+x/y>=2√2
所以1/x+1/y=3+2y/x+x/y>=3+2√2

Answer 3

1/x+1/y=(1/x+1/y)(2x+y)
=3+(2x/y+y/x)>=3+2√2
当且仅当2x/y=y/x,2x+y=1时取等号,
即x=(2-√2)/2,
y=√2-1.