Question

高数求解？？证明题

Answer 1

Answer 2

定积分换元法。对等式左边定积分换元，令u=x^2，则du=2xdx，即xdx=dx/2，当x=0时，u=0；当x=a时，u=a^2。于是等式左边=∫（0一>a）x^2f（x^2）xdx=∫（0一>a^2）uf（u）du/2=1/2∫（0一>a^2）uf（u）du=1/2∫（0一>a^2）xf（x）dx=等式右边，得证。

注意：①由u=x^2，不求x=√u取微分，而是直接对u=x^2取微分du=2xdx，进而求得xdx=du/2，对等式左边凑出xdx再代换成du/2；

②当x=0时，u=0；当x=a时，u=a^2是积分上下限进行变换，这一步往往在定积分的计算中容易漏掉。

Answer 3

∫[0，a] x³f(x²)dx
令x²=t，则2xdx=dt，dx=1/(2x) dt
x³=x·x²=x·t
x=0时，t=0；x=a时，t=a²
则积分限变为[0，a²]
所以原式=∫[0，a²] x·tf(t)·1/(2x) dt
=1/2 ∫[0，a²] tf(t)dt
=1/2 ∫[0，a²] xf(x)dx