设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且3a2是a1+3和a3+4和的等差中项．（1）
设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且3a2是a1+3和a3+4和的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝an...
设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且3a2是a1+3和a3+4和的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝an(an+1)(an+1+1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜12．
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（1）解：由已知，得
…（3分）
解得a2=2．
设数列{an}的公比为q，则a1q=2，
∴a1＝
，a3＝a1q2＝2q．
由S3=7，可知
+2+2q＝7，
∴2q2-5q+2=0，解得q1＝2，q2＝
．
由题意，得q＞1，∴q=2． …（5分）
∴a1=1．
故数列{an}的通项为an＝2n?1． …（7分）
（2）证明：∵bn＝
=
=
?
，…（11分）
∴Sn=(
?
)+(
?
)+(
?
|
解得a2=2．
设数列{an}的公比为q，则a1q=2，
∴a1＝
| 2 |
| q |
由S3=7，可知
| 2 |
| q |
∴2q2-5q+2=0，解得q1＝2，q2＝
| 1 |
| 2 |
由题意，得q＞1，∴q=2． …（5分）
∴a1=1．
故数列{an}的通项为an＝2n?1． …（7分）
（2）证明：∵bn＝
| an |
| (an+1)(an+1+1) |
| 2n?1 |
| (2n?1+1)(2n+1) |
| 1 |
| 2n?1+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
∴Sn=(
| 1 |
| 1+1 |
| 1 |
| 21+1 |
| 1 |
| 21+1 |
| 1 |
| 22+1 |
| 1 |
| 22+1 |
| 1 |
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