Question

如图，点C是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形△AC

如图，点C是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形△ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）求证：MN∥AB；（2）若AB的长为10cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长？若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ACD与△BCE是等边三角形，
∴AC=CD，CE=BC，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△DCB中，
∵

AC＝CD ∠ACE＝∠BCD CE＝BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE=∠BDC，
在△ACM与△DCN中，
∵

∠CAE＝∠BDC AC＝CD ∠ACM＝∠DCN

，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN∥AB；

（2）解：假设符合条件的点C存在，设AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，
∴

MN

AC

=

EN

EC

，
即

y

x

=

10?x?y

10?x

，
y=-

1

10

（x-5）²+2.5（0＜x＜10），
当x=5时，y_max=2.5cm．