Question

已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+5），则

已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+5），则实数c的值为254254．

Answer 1

因为f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
所以△=0，即a²-4b=0．
又f（x）＜c的解集为（m，m+5），
所以m，m+5是对应方程f（x）=c的两个不同的根，
所以x²+ax+b-c=0，
所以根据根与系数之间的关系得

x1+x2＝?a x1x2＝b?c

，
又|x2?x1|＝

(x1+x2)2?4x1x2

，
所以|m+5?m|＝

(?a)2?4(b?c)

，
即5＝

a2?4b+4c

＝

4c

，
所以c=

25

4

．
故答案为：

25

4

．