Question

已知抛物线y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m∈R）．（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）若关于x的

已知抛物线y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m∈R）．（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）若关于x的方程（m-1）x2+（m-2）x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围；（3）如果抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且三角形ABC的面积等于2，试求m的值．

Answer 1

（1）由题意知，有

m?1≠0 △＝(m?2)2+4(m?1)＞0

，解得m²＞0且m≠1，
∴m的取值范围为{m|m≠0且m≠1}．             
（2）在（1）的条件下，设（m-1）x²+（m-2）x-1=0的两个不等实根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=

m?2

1?m

，x₁x₂=

1

1?m

，∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=m-2
∴

1

x12

+

1

x22

=(

1

x1

+

1

x2

)2-

2

x1x2

=（m-2）²+2（m-1）≤2，即m²-2m≤0，
解得，0≤m≤2，
∴m的取值范围为{m|0＜m＜1或1＜m≤2}．
（3）由（2）知，A和B点的横坐标为：x₁、x₂，设点C的纵坐标为y_c，
把x=0代入解析式得，y_c=-1，
∵三角形ABC的面积等于2，∴

1

2

|x₁-x₂|?|y_c|=2，∴|x₁-x₂|=4，
∵x₁+x₂=

m?2

1?m

，x₁x₂=

1

1?m

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，即(

m?2

1?m

)