Question

已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，3），且在x=1处的切线方程是y=2x+1．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；

已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，3），且在x=1处的切线方程是y=2x+1．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，3），得
f（0）=c=3  ①
又∵f′（x）=4x³+2bx，∴f′（1）=4a+2b=2  ②
∵x=1处的切线方程是y=2x+1，有y=2+1=3，且点坐标为（1，3），
∴f（1）=a+b+c=3  ③
联立①②③得：a=1，b=-1，c=3．
∴f（x）=x⁴-x²+3；
（Ⅱ）∵f′（x）=4x³-2x=2x（2x²-1），
由f′（x）＞0，得?

2

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＜x＜0或x＞

2

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，
∴y=f（x）的单调递增区间为(?

2

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，0)，(

2

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，+∞)．