已知函数f（x）=ax-lnx
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f(x) = ax-lnx
定义域x＞-
f ′(x) = a - 1/x
第一问：
若x=1处的切线与x轴平行
f ′(1) = a-1=0
a = 1
f ′(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x
单调减区间（0，1）；单调增区间（1，+无穷大）
第二问：
在（1，e²）上存在两个零点
f ′(x) = a-1/x = a(x-1/a)/x
如果a＜0，则f ′(x)≤0，则在定义域上单调减，不能满足要求
a＞0时，必须极值点在（1，e²）区间，即1＜1/a＜e²
∵先减后增
∴必须f(1/a)＜0，并且f(1)＞0，f(e²)＞0：
f(1/a) = 1-ln(1/a) = 1+lna ＜0，0＜a＜1/e
f(1) = a-ln1 = a ＞0
f(e²) = ae²-lne² = ae²-2 ＞ 0，a＞2/e²
综上，2/e²＜a＜1/e
定义域x＞-
f ′(x) = a - 1/x
第一问：
若x=1处的切线与x轴平行
f ′(1) = a-1=0
a = 1
f ′(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x
单调减区间（0，1）；单调增区间（1，+无穷大）
第二问：
在（1，e²）上存在两个零点
f ′(x) = a-1/x = a(x-1/a)/x
如果a＜0，则f ′(x)≤0，则在定义域上单调减，不能满足要求
a＞0时，必须极值点在（1，e²）区间，即1＜1/a＜e²
∵先减后增
∴必须f(1/a)＜0，并且f(1)＞0，f(e²)＞0：
f(1/a) = 1-ln(1/a) = 1+lna ＜0，0＜a＜1/e
f(1) = a-ln1 = a ＞0
f(e²) = ae²-lne² = ae²-2 ＞ 0，a＞2/e²
综上，2/e²＜a＜1/e
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2025-02-09 广告
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