Question

如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，-4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，

如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，-4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，点A′的对应点是点A，点B′的对应点是点B．（1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；②当x为何值时，S的面积最大，最大值是多少？③是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A（0，2），B（4，0）（2分） 设直线AB的解析式y=kx+b，则有 b=2 4k+b=0 解得 k=- 1 2 b=2 ∴直线AB的解析式为 y=- 1 2 x+2 （3分） （2）i）①点E在原点和x轴正半轴上时，重叠部分是△CDE． 则S △CDE = 1 2 BC×CD= 1 2 (4-x)(- 1 2 x+2) = 1 4 x 2 -2x+4 当E与O重合时， CE= 1 2 BO=2 ∴2≤x＜4（4分） ②当E在x轴的负半轴上时，设DE与y轴交于点F，则重叠部分为梯形 ∵△OFE ∽ △OAB ∴ OF OE = OA 0B = 1 2 ， ∴ OF= 1 2 OE 又∵OE=4-2x ∴ OF= 1 2 (4-2x)=2-x ∴ S 四边形CDFO = x 2 × [2-x+(- 1 2 x+2)] = - 3 4 x 2 +2x （5分） 当点C与点O重合时，点C的坐标为（0，0） ∴0＜x＜2（6分） 综合①②得 S= 1 4 x 2 -2x+4(2≤x＜4) - 3 4 x 2 +2x(0＜x＜2) （7分） ii）①当2≤x＜4时， S= 1 4 x 2 -2x+4= 1 4 (x-4) 2 ∴对称轴是直线x=4 ∵抛物线开口向上， ∴在2≤x＜4中，S随x的增大而减小 ∴当x=2时，S的最大值= 1 4 ×(2-4 ) 2 =1 （8分） ②当0＜x＜2时， S=- 3 4 x 2 +2x=- 3 4 (x- 4 3 ) 2 + 4 3 ∴对称轴是直线 x= 4 3 ∵抛物线开口向下∴当 x= 4 3 时，S有最大值为 4 3 （9分） 综合①②当 x= 4 3 时，S有最大值为 4 3 （10分） iii）存在，点C的坐标为（ 3 2 ，0）和（ 5 2 ，0）（14分） 附：详①当△ADE以点A为直角顶点时，作AE⊥AB交x轴负半轴于点E， ∵△AOE ∽ △BOA ∴ EO AO = AO BO = 1 2 ∵AO=2∴EO=1 ∴点E坐标为（-1，0） ∴点C的坐标为（ 3 2 ，0）②当△ADE以点E为直角顶点时 同样有△AOE ∽ △BOA OE AO = OA BO = 1 2 ∴EO=1∴E（1，0） ∴点C的坐标（ 5 2 ，0） 综合①②知满足条件的坐标有（ 3 2 ，0）和（ 5 2 ，0）． 以上仅提供本试题的一种解法或解题思路，若有不同解法请参照评分标准予以评分．