Question

已知函数f（x）=（2x 2 -kx+k）?e -x ．（1）当k为何值时，f（x）无极值；（2）试确定实数k的值，使f（x

已知函数f（x）=（2x 2 -kx+k）?e -x ．（1）当k为何值时，f（x）无极值；（2）试确定实数k的值，使f（x）的极小值为0．

Answer 1

（1）∵f′（x）=（4x-k）e -x -（2x 2 -kx+k）e -x =[-2x 2 +（k+4）x-2k]e -x = -2(x-2)(x- k 2 ) e -x ∴k=4时，f′（x）=-2（x-2） 2 e -x ≤0，此时，f（x）无极值．（5分） （2）当k≠4时，由f′（x）=0得x=2或 x= k 2 ． 当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表： ①当k＜4，即 k 2 ＜2 时 ②当k＞4，即 k 2 ＞2 时 ∴k＜4时，由 f( k 2 )=0 得 2× k 2 4 - k 2 2 +k=0 ， ∴k=0k＞4时，由f（2）=0得8-k=0，∴k=8 综上所述，k=0或8时，f（x）有极小值0．（12分）