Question

（2012?惠州模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2．（1

（2012?惠州模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）若四棱锥B-AA1C1D的体积为3，求二面角C-BC1-D的正切值．

Answer 1

（1）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴点O为B₁C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，
∴OD∥AB₁．
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
（2）解：依题意知，AB=BB₁=2，
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC．
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA₁C₁C，
设BC=a，
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

4+a2

，BE=

AB?BC

AC

=

2a

4+a2

，
∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积V=

1

3

×

1

2

(A1C1+AD)?AA1?BE=

1

6

×

3

2

4+a2

×2×

2a

4+a2

=a．
依题意得，a=3，即BC=3．
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，BC?平面BB₁C₁C，BB₁?平面BB₁C₁C，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．
取BC的中点F，连接DF，则DF∥AB，且DF=

1

2

AB=1．
∴DF⊥平面BB₁C₁C．
作FG⊥BC₁，垂足为G，连接DG，
由于DF⊥BC₁，且DF∩FG=F，
∴BC₁⊥平面DFG．
∵DG?平面DFG，
∴BC₁⊥DG．
∴∠DGF为二面角C-BC₁-D的平面角．
由Rt△BGF～Rt△BCC₁，得

GF

CC1

=

BF

BC1

，
得GF=