Question

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x） 的导数，

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x） 的导数，若f″（x）=0 有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x3-3x2+2x-2，请解答下列问题：（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；（2）求证f（x）的图象关于“拐点”A对称．

Answer 1

（1）∵f'（x）=3x²-6x+2，
∴f''（x）=6x-6，
令f''（x）=6x-6=0，
得x=1，f（1）=-2 
所以“拐点”A的坐标为（1，-2）
（2）设P（x₀，y₀）是y=f（x）图象上任意一点，则y0＝x03?3x02+2x0?2 
∴P（x₀，y₀）关于（1，-2）的对称点P'（2-x₀，-4-y₀），
把P'（2-x₀，-4-y₀）代入y=f（x），得左边=?4?y0＝?x03+3x02?2x0?2 
右边=(2?x0)3?3(2?x0)2+2(2?x0)?2＝?x03+3x02?2x0?2 
∴左边=右边，
∴P'（2-x₀，-4-y₀）在y=f（x）图象上，
∴f（x）的图象关于“拐点”A对称．