Question

已知数列{an}：满足：a1=3，an+1=3an+2an+2，n∈N*，记bn=an?2an+1．（I） 求证：数列{bn}是等比数列；（

已知数列{an}：满足：a1=3，an+1=3an+2an+2，n∈N*，记bn=an?2an+1．（I） 求证：数列{bn}是等比数列；（II） 若an≤t?4n对任意n∈N*恒成立，求t的取值范围；（III）证明：a1+a2+…an＞2n+34．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）由a_n+1=

3an+2

an+2

得，a_n+1-2=

3an+2

an+2

-2=

an?2

an+2

 ①，
a_n+1+1=

3an+2

an+2

+1=

4(an+1)

an+2

②（2分）
∴

①

②

得：

an+1?2

an+1+1

=

1

4

?

an?2

an+1

，即b_n+1=

1

4

b_n，且b₁=

a1?2

a1+1

=

1

4

，
∴数列{b_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=

1

4

?(

1

4

)n?1=

1

4n

=

an?2

an+1

∴a_n=

1+2?4n

4n?1

，
由a_n≤t?4ⁿ得t≥

1+2?4n

(4n?1)4n

=

2+ 1 4n

4n?1

（6分）
∵

2+ 1 4n

4n?1

是关于n的减函数，
∴

2+ 1 4n

4n?1

≤

2+ 1 4

4?1

=

3

4

，
∴t≥

3

4

（9分）
（Ⅲ）∵a_n=

1+2?4n

4n?1

=2+

3

4n?1

＞2+

3

4n

，（11分）
∴a₁+a₂+…+a_n＞（2+

3

4

）+（2+

3

42

）+…（2+

3

4n

）
=2n+（

3

4

+

3

42

+…+

3

4n

）
=2n+

3

4

?

1?( 1 4 )n

1? 1 4

=2n+1-(

1

4

)n＞2n+

3

4

．得证（14分）