Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A

如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为______；抛物线的解析式为______．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3-1）²+4=0，
解得a=-1．
故抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；

（2）依题意有：OC=3，OE=4，
∴CE=

OC2+OE2

=

32+42

=5，
当∠QPC=90°时，
∵cos∠QCP=

PC

CQ

=

OC

CE

，
∴

3?t

2t

=

3

5

，
解得t=

15

11

；
当∠PQC=90°时，
∵cos∠QCP=

CQ

PC

=

OC

CE

，
∴

2t

3?t

=

3

5

，
解得t=

9

13

．
∴当t=

15

11

或t=

9

13

时，△PCQ为直角三角形；

（3）∵A（1，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则

k+b＝4 3k+b＝0

，
解得

k＝?2 b＝6

．
故直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵P（1，4-t），将y=4-t代入y=-2x+6中，得x=1+

t

2

，
∴Q点的横坐标为1+

t

2

，
将x=1+

t

2

代入y=-（x-1）²+4中，得y=4-

t2

4

．
∴Q点的纵坐标为4-

t2

4

，
∴QF=（4-

t2

4

）-（4-t）=t-

t2

4

，
∴S_△ACQ=S_△AFQ+S_△CFQ
=

1

2

FQ?AG+

1

2

FQ?DG
=

1

2

FQ（AG+DG）
=

1

2

FQ?AD
=

1

2

×2（t-

t2

4

）
=-

t2

4

+t
=-

1

4

（t²+4-4t-4）
=-

1

4

（t-2）²+1，
∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．