Question

在四棱锥P-ABCD中,PA垂直平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD...

在四棱锥P-ABCD中,PA垂直平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD=2,E、F分别为棱AD、PC的终点. 1）求异面直线EF和PB所成角的大小； 2）求证：平面PCE垂直平面PBC； 3）求二面角E-PC-D的大小.

Answer 1

1.取BC中点G,连接FG,EG,则有FG‖PB,EG‖AB,由正方形各边长以及PA的长很容易求出AC=2√2,PC=2√3,EG=2,FG=√2,PAB=45度,所以∠FGA=45度,而EF与PB所成的角即为∠EFG,在三角形EFG中,EG=2,FG=√2,∠PAB=45=45度,运用余弦定理可求出EF=√2,所以EFG为等腰直角三角形,∠EFG为直角,即所求角度为90度2.连接CE,PE,由PA垂直面ABCD,可很容易求得PE=CE=√5,所以三角形PEC为等腰三角形,F为斜边PC中点,则由EF⊥PC,又由第1问已证EF⊥FG,PC,FG显然为面PCB中的两条相交直线,所以又EF⊥面PCB,而EF在面PCE中,所以有面PCE⊥面PBC3.找出二面角E-PC-D是求解的关键,F点是两面交线PC上的点,且有EF⊥交线PC,EF属于面EPC,故只要找到面DPC上垂直于PC且与PC相交于F点的直线,即可与EF构成所求的二面角,设其为x过F点做FH⊥PC,并交CD于H,则∠EFH即为需要求的x,由PA⊥面ABCD可以得出PA⊥CD,而CD⊥AD,所以有CD⊥面PAD,所以CD⊥PD,三角形PDC是以∠PDC为直角的直角三角形,前面已求出PC=2√3,CD=2,于是有cos∠PCD=CD/PC=√3/3,而在直角三角形CFH中,∠CFH=90度,于是有cos∠PCD=FC/CH,而FC的值为CP的一半,为√3,所以可求出CH=3,另求出FH=√6,这说明H位于CD延长线上,有DH=1,而HE可通过直角三角形HDE已知两个直角边求得为HE=√2,故∠EFH所在的三角形EFH三边皆已求得,为EH=√2,EF=√2,FH=√6,根据余弦定理可求出cos∠EFH=√3/2,于是∠EFH=30度,即二面角E-PC-D为30度