Question

高等数学一阶线性微分方程，跪求详解

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Answer 1

一阶微分方程
如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解
若式子可变形为y'=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解
若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分求解

Answer 2

追答

求采纳

Answer 3

xy''=y'ln(y'/x)
令 p=y'， 则 xp‘=pln(p/x), p'=(p/x)ln(p/x) 为齐次方程。
令 q=p/x, 则 p=xq， 齐次方程化为 q+xdq/dx = qlnq
即 dq/[q(lnq-1)] = dx/x , ln(lnq-1)=lnx+lnC1
lnq-1=C1x, ln(p/x)=1+C1x, p/x=e^(1+C1x)
y' = xe^(1+C1x)
y = ∫xe^(1+C1x)dx = (e/C1)∫xe^(C1x)d(C1x) = (e/C1)∫xde^(C1x)
= (e/C1)[xe^(C1x)-∫e^(C1x)dx]
= (e/C1)[xe^(C1x)-(1/C1)e^(C1x)] + C2
= (e/C1)[x-(1/C1)]e^(C1x) + C2

Answer 4

怎么看出线性的……原题不是线性，但是可以转化成线性(不是线性怎么解)
设y'=e^u
xu'e^u=e^u*ln(e^u/x)
xu'=u-lnx
u=cx+1+lnx
y'=xe^(cx+1)
y=xe^(cx+1)/c-e^(cx+1)/c^2+c2
结果经过验算是正确的