Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 acosB-bcosA= 1 2 c ，当tan（A-B）取最大值时

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 acosB-bcosA= 1 2 c ，当tan（A-B）取最大值时，角C的值为______．

Answer 1

利用正弦定理化简已知的等式得：sinAcosB-sinBcosA= 1 2 sinC= 1 2 sin（A+B）= 1 2 （sinAcosB+cosAsinB）， 整理得：sinAcosB=3cosAsinB， 两边除以cosAcosB得：tanA=3tanB， 则tan（A-B）= tanA-tanB 1+tanAtanB = 2tanB 1+3ta n 2 B = 2 3tanB+ 1 tanB ， ∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号， ∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0， ∴3tanB+ 1 tanB ≥2 3 ，当且仅当3tanB= 1 tanB ，即tanB= 3 3 时取等号， ∴tanA=3tanB= 3 ， ∴A= π 3 ，B= π 6 ， 则C= π 2 ． 故答案为： π 2