Question

（2012?河东区二模）如图，已知AD是圆O直径，点C在圆上，点B在线段AD延长线上，且∠A=∠B=30°，连接BC．

（2012?河东区二模）如图，已知AD是圆O直径，点C在圆上，点B在线段AD延长线上，且∠A=∠B=30°，连接BC．（1）证明：BC是圆O的切线；（2）若圆O的半径为3，点P是线段BC上的一个动点，连接DP，当直线DP为圆O的切线时，求线段DP的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC是圆O的切线；

（2）解：连接CD．
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴DB=DC．
又∵在Rt△ACD中，DC=AD?sin30°=

3

，
∴BD=

3

，
∵直线DP为圆O的切线，
∴DP⊥AB，则△BDP∽△BCO，
∴

PD

OC

=

BD

BC

，
∵BC=

BO2?CO2

=3，
∴PD=

BD

BC

×OC=

3

3

×

3

=1．