在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B．（1）如图，过点A作⊙O1的
在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B．（1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为125，sin∠AB...
在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B．（1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为125，sin∠ABC=35，求直线AC的解析式；（2）若⊙O1经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．
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解：（1）如图1，过O作OG⊥AB于G，则OG=| 12 |
| 5 |
设OA=3k（k＞0），
∵∠AOB=90°，sin∠ABC=
| 3 |
| 5 |
∴AB=5k，OB=4k．
∵OA?OB=AB?OG=2S△AOB′
∴3k×4k=5×
| 12 |
| 5 |
∴OA=3，OB=4，AB=5，
∴A（3，0）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O1的直径．
∵AC切⊙O1于A，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中
∵cos∠ABC=
| AB |
| BC |
| 4 |
| 5 |
∴BC=
| 25 |
| 4 |
∴OC=BC-OB=
| 9 |
| 4 |
∴C（0，-
| 9 |
| 4 |
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
|
∴k=
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
∴直线AC的解析式为y=
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
（2）结论：d+AB的值不会发生变化，
设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示．
∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP=
| d |
| 2 |
∴BQ=BT=OB-
| d |
| 2 |
| d |
| 2 |
∴AB=BT+AT=OB-
| d |
| 2 |
| d |
| 2 |
则d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．
在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN．
∵M（2，2），
∴OM平分∠AOB，
∴OM=2
| 2 |
∴∠BOM=∠MON=45°，
∴AM=BM，
又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，
∴△BOM≌△ANM，
∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON，
∴OM=NM∠OMN=90°，
∴OA+OB=OA+AN=ON=
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