Question

（2004?北京）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（

（2004?北京）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（I）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2y0的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer 1

解：（I）当y＝

p

2

时，x＝

p

8

又抛物线y²=2px的准线方程为x＝?

p

2

由抛物线定义得，所求距离为

p

8

?(?

p

2

)＝

5p

8

（II）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB
由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀
相减得（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀）
故kPA＝

y1?y0

x1?x0

＝

2p

y1+y0

(x1≠x0)
同理可得kPB＝

2p

y2+y0

(x2≠x0)
由PA，PB倾斜角互补知k_PA=-k_PB
即

2p

y1+y0

＝?

2p

y2+y0

所以y₁+y₂=-2y₀
故

y1+y2

y0

＝?2
设直线AB的斜率为k_AB
由y₂²=2px₂，y₁²=2px₁
相减得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）
所以kAB＝

y2?y1

x2?x1

＝

2p

y1+y2

(x1≠x2)
将y₁+y₂=-2y₀（y₀＞0）代入得kAB＝

2p

y1+y2

＝?

p

y0

，所以k_AB是非零常数