（2014?绵阳三模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC、EF是⊙O的弦，且EF垂直AB于点G，交BC于点H，CD与FE延长
（2014?绵阳三模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC、EF是⊙O的弦，且EF垂直AB于点G，交BC于点H，CD与FE延长线交于D点，CD=DH．（1）求证：CD是⊙O的...
（2014?绵阳三模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC、EF是⊙O的弦，且EF垂直AB于点G，交BC于点H，CD与FE延长线交于D点，CD=DH．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若H为BC中点，AB=10，EF=8，求CD的长．
展开
1个回答
展开全部
解：（1）连接OD、OC相交于M，∵∠ACB=90°，CO=AO，
∴∠ACO=∠CAO，∠CAO+∠B=90°，∠B+∠BHG=90°．
∴∠CAO=∠BHG．
∵DC=DH，
∴∠DCH=∠DHC．
∴∠DCH=∠ACO．
∴∠DCH+∠HCO=∠ACO+∠OCH=90°．
∴OC⊥PC．
即DC为切线．
（2）∵AB=10，EF=8，EF垂直AB，
∴EG=4=GF．
∴OG=3，
∴BG=2．
连接OH，
∵H为BC中点，
∴OH⊥BC，
∴△BHG∽△BHG，
∴BH2=BG?BO=2×5=10，
∴BH＝
| 10 |
同理得：HG=
| 6 |
cos∠BHG＝
| HG |
| BH |
| ||
|
| ||
| 5 |
又∵∠DCH=∠DHC=∠BHG，
∴
| ||
| CD |
| ||
| 5 |
∴CD=
5
|
