Question

如图，在四边形ABCD中，AC=BD，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH是怎样的

如图，在四边形ABCD中，AC=BD，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．

Answer 1

解答：答：四边形EFGH是正方形．
证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=AC，
同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，
∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
设AC与BD交于点O，AC与EH交于点M
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，同理GH∥AC，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵EH∥BD，
∴∠EMC=∠BOC=90°，
∵HG∥AC，
∴∠EHG=∠EMC=90°，
∴四边形EFGH是正方形．