Question

已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）请写

已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）请写出你在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题；（3）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点，①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB；

（2）两个互逆的真命题为：直角三角形中两锐角互余；两锐角互余的三角形为直角三角形；

（3）①∵∠B=34°，
∴∠ACD=34°，
∴∠BCD=90°-34°=56°，
∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点，
∴∠A′CD=∠ACD=34°，
∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；
②∵∠B=n°，
∴∠ACD=n°，
∴∠BCD=90°-n°，
∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点，
∴∠A′CD=∠ACD=n°，
∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-n°-n°=90°-2n°．