Question

设四阶方阵A的秩R（A）=3，则其伴随矩阵A*的秩为______

设四阶方阵A的秩R（A）=3，则其伴随矩阵A*的秩为______．

Answer 1

设四阶方阵A的秩R（A）=3，则其伴随矩阵A*的秩为___1___。

解析：

因为A的秩R（A）=3，所以矩阵A不可逆，|A|=0。

根据伴随矩阵公式：AA*=|A|E，所以又因为AA*=|A|E=0

根据常用关于秩的公式：R（A*）+R（A）≤R（AA*）

所以R（A*）+R（A）≤R（AA*）+4=4

因此，R（A*）≤4-3=1

又因为R（A）=3

所以其三阶代数余子式至少有一个不为0

因此矩阵A*不为零矩阵

故R（A*）≥1

综上所述，R（A*）=1，故答案为1。

扩展资料：

如果A可逆，则

 对于A*的秩有：

参考资料来源：百度百科-伴随矩阵

Answer 2

因为AA^*=|A|E=0，
所以R（A^*）+R（A）≤R（AA^*）+4=4，
因此，R（A^*）≤4-3=1．①
又因为R（A）=3，
所以其三阶代数余子式至少有一个不为0，
因此A*不为零，
故R（A*）≥1．②
由①②可得，R（A^*）=1．
故答案为1．