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解析如下:
∫ 1/sinx dx
= ∫ cscx dx
= ∫ cscx * (cscx - cotx)/(cscx - cotx) dx
= ∫ (- cscxcotx + csc²x)/(cscx - cotx) dx
= ∫ d(cscx - cotx)/(cscx - cotx)
= ln|cscx - cotx| + C
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。
∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
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∫(1/sinx)dx
=∫[sinx/(sinx)^2]dx
=-∫[1/(sinx)^2]d(cosx)
=-∫{1/[(1+cosx)(1-cosx)]}d(cosx)
=-(1/2)∫[1/(1-cosx)+1/(1+cosx)]d(cosx)
=(1/2)ln(1-cosx)-(1/2)ln(1+cosx)+C。
=∫[sinx/(sinx)^2]dx
=-∫[1/(sinx)^2]d(cosx)
=-∫{1/[(1+cosx)(1-cosx)]}d(cosx)
=-(1/2)∫[1/(1-cosx)+1/(1+cosx)]d(cosx)
=(1/2)ln(1-cosx)-(1/2)ln(1+cosx)+C。
追问
那1/(x^2-1)的不定积分呢?
追答
∫[1/(x^2-1)]dx
=(1/2)∫[1/(x-1)-1/(x+1)]dx
=(1/2)∫[1/(x-1)]dx-(1/2)∫[1/(x+1)]dx
=(1/2)ln|x-1|-(1/2)ln|x+1|+C。
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∫ 1/sinx
dx = ∫ 1/ [2sin(x/2)cos(x/2) ] dx = ∫ [1/tan(x/2) ] * (1/2) sec²(x/2) dx u = tan(x/2) = ∫ du /u = ln| u| + C = ln| tan(x/2)| + C
dx = ∫ 1/ [2sin(x/2)cos(x/2) ] dx = ∫ [1/tan(x/2) ] * (1/2) sec²(x/2) dx u = tan(x/2) = ∫ du /u = ln| u| + C = ln| tan(x/2)| + C
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