Question

求1/sinx的不定积分

Answer 1

解析如下：

∫ 1/sinx dx 

= ∫ cscx dx

= ∫ cscx * (cscx - cotx)/(cscx - cotx) dx

= ∫ (- cscxcotx + csc²x)/(cscx - cotx) dx

= ∫ d(cscx - cotx)/(cscx - cotx)

= ln|cscx - cotx| + C

 

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

Answer 2

∫（1/sinx）dx
＝∫［sinx/（sinx）^2］dx
＝－∫［1/（sinx）^2］d（cosx）
＝－∫｛1/［（1＋cosx）（1－cosx）］｝d（cosx）
＝－（1/2）∫［1/（1－cosx）＋1/（1＋cosx）］d（cosx）
＝（1/2）ln（1－cosx）－（1/2）ln（1＋cosx）＋C。

追问

那1/（x^2-1）的不定积分呢？

追答

∫［1/（x^2－1）］dx
＝（1/2）∫［1/（x－1）－1/（x＋1）］dx
＝（1/2）∫［1/（x－1）］dx－（1/2）∫［1/（x＋1）］dx
＝（1/2）ln｜x－1｜－（1/2）ln｜x＋1｜＋C。

Answer 3

∫ 1/sinx
dx = ∫ 1/ [2sin(x/2)cos(x/2) ] dx = ∫ [1/tan(x/2) ] * (1/2) sec²(x/2) dx u = tan(x/2) = ∫ du /u = ln| u| + C = ln| tan(x/2)| + C