Question

y=sinx^2*cosx求y的最大值

Answer 1

y=(sinx)^2cosx
=[1-(cosx)^2]cosx
=cosx-(cosx)^3
令a=cosx,则-1<=a<=1

y=-a^3+a
y'=-3a^2+1=0
a=±√3/3
a>√3/3,a<-√3/3.y'<0,y递减
-√3/3<a<√3/3,y'>0,y递增
所以a=√3/3是极大值点，a=-√3/3是极小值点

最大值在极大值点或端点
a=√3/3,y=2√3/9
a=1,y=0
a=-1,y=0

所以cosx=√3/3时，y最大=2√3/9

Answer 2

y=sinx^2*cosx求y的最大值
y=sin²xcosx=(1-cos²x)cosx
2y²=2(1-cos²x)²cos²x=2cos²x(1-cos²x)(1-cos²x)
由cos²x≥0，1-cos²x≥0

根据均值不等式abc≤[(a+b+c)/3]^3有

2y^2≤{[2cos²x+(1-cos²x)+(1-cos²x)]/3}³
2y^2≤(2/3)³
y^2≤4/27
y≤2(√3)/9
y的最大值是2(√3)/9

Answer 3

y=sinx^2*cosx=(1-cosx^2)*cosx=cosx-cosx^3
令t=cosx,则t的取值为[-1，1]
所以y=t-t^3
所以y'=1-3t^2
当1-3t^2>=0即t在[-(根3)/3,(根3)/3]时;y=t-t^3为增函数
所以t在[-1,-(根3)/3]或[(根3)/3,1]时为减函数
因为t=-1时,y=0 t=(根3)/3时,y=2根3/9
所以y的最大值为2根3/9

Answer 4

y=sin²xcosx=(1-cos²x)cosx
2y²=2(1-cos²x)²cos²x=2cos²x(1-cos²x)(1-cos²x)
因为cos²x≥0，1-cos²x≥0
由均值不等式abc≤[(a+b+c)/3]³得
2y²≤{[2cos²x+(1-cos²x)+(1-cos²x)]/3}³
2y²≤(2/3)³
y²≤4/27
y≤2(√3)/9
y的最大值是2(√3)/9

Answer 5

y=sinx^2*cosx
=(1-cosx^2)cosx
=cosx-cosx^3
设cosx=a,a[-1,1]
y=a-a^3
y'=1-3a^2
y'=0
a=+/-根号3/3
当a=根号3/3
y有最大值是:
2根号3/9