如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点M是AD的中点．点E是边AB上的一动点，连接EM并延长交射线CD于点F，过M
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点M是AD的中点．点E是边AB上的一动点，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交BC的延长线于点G，连接EG，交边...
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点M是AD的中点．点E是边AB上的一动点，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交BC的延长线于点G，连接EG，交边DC于点Q．设AE的长为x，△EMG的面积为y（1）求∠MEG的正弦值；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）线段MG的中点记为点P，连接CP，若△PGC∽△EFQ，求y的值．
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解：（1）过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N，可证得△AEM∽△NMG，∴
| MG |
| EM |
| GN |
| MA |
∴GN=AB=4，
∵M是AD的中点，
∴AM=1，
∴
| MG |
| EM |
| GN |
| MA |
∵GM⊥EF，
∴在Rt△EMG中，
∴tan∠MEG=
| MG |
| EM |
设MG=4x，EM=x，在△EMG中，由勾股定理得：EG=
| (4x)2+x2 |
| 17 |
∴sin∠MEG=
| MG |
| EG |
| 4x | ||
|
4
| ||
| 17 |
即∠MEG的正弦值是
4
| ||
| 17 |
（2）由（1）知，
| MG |
| EM |
∵在Rt△AEM中，EM=
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