Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在区间[-1

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，1]上的值域；（Ⅲ）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer 1

（Ⅰ）设f（x）=ax 2 +bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax 2 +bx+1． ∵f（x+1）-f（x）=2x，∴a（x+1） 2 +b（x+1）+1-（ax 2 +bx+1）=2x． 即2ax+a+b=2x，所以 2a=2 a+b=0 ，∴ a=1 b=-1 ，∴f（x）=x 2 -x+1． （Ⅱ） f(x)= x 2 -x+1=(x- 1 2 ) 2 + 3 4 所以当x∈[-1，1]时，y min =f（ 1 2 ）= 3 4 ，y max =f（-1）=3 ∴函数的值域为 [ 3 4 ，3] （Ⅲ）由题意得x 2 -x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x 2 -3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立． 设g（x）=x 2 -3x+1-m，其图象的对称轴为直线x= 3 2 ，所以g（x）在[-1，1]上递减． 故只需g（1）＞0，即1 2 -3×1+1-m＞0，解得m＜-1．