Question

已知过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M、N两点，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线 l

已知过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M、N两点，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线 l：x=- p 2 相交于P、Q两点，则∠PFQ=（　　） A． π 6 B． π 4 C． π 3 D． π 2

Answer 1

由题意，设直线MN的方程为： x=my+ p 2 代入抛物线y 2 =2px（p＞0），可得y 2 -2mpy-p 2 =0 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则 y 1 y 2 =- p 2 ∵OM的方程为： y= y 1 x 1 x ，ON的方程为： y= y 2 x 2 x ，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线 l：x=- p 2 相交于P、Q两点 ∴ P(- p 2 ，- p 2 y 1 ) ，∴ Q(- p 2 ，- p 2 y 2 ) ∵ y 1 y 2 =- p 2 ∴ P(- p 2 ， y 2 ) ， Q(- p 2 ， y 1 ) ∴MQ⊥PQ，NP⊥PQ， ∴∠MQF=∠QFO，∠NPF=∠PFO ∵过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M、N两点 ∴MQ=MF，NP=NF ∴∠MQF=∠MFQ，∠NFP=∠NPF ∴∠PFQ=90° 故选D．