Question

如图，抛物线y=－x 2 ＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E

如图，抛物线y=－x 2 ＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

Answer 1

（1）y=-x 2 +2x+3；（2）8；（3）点G不在该抛物线上．

试题分析：（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式． （2）根据（1）的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积． （3）首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可． （1）∵四边形OCEF为矩形，OF=2，EF=3， ∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）． 把x=0，y=3；x=2，y=3分别代入y=-x 2 +bx+c中， 得 ， 解得 ， ∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x 2 +2x+3； （2）∵y=-x 2 +2x+3=-（x-1） 2 +4， ∴抛物线的顶点坐标为D（1，4）， ∴△ABD中AB边的高为4， 令y=0，得-x 2 +2x+3=0， 解得x 1 =-1，x 2 =3， 所以AB=3-（-1）=4， ∴△ABD的面积= ×4×4=8； （3）△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（2）可知OA=1， ∴点A对应点G的坐标为（3，2）， 当x=3时，y=-3 2 +2×3+3=0≠2，所以点G不在该抛物线上．