Question

已知∠AOD=α，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，当α=160°，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，

已知∠AOD=α，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，当α=160°，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的大小；（2）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠BOC=20°，∠MON=60°，求α．（3）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠BOC，∠MON和α三者关系．

Answer 1

（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=

1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOD，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=

1

2

（∠AOB+∠BOD），
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°，
∴∠MON=

1

2

×160°=80°；

（2）设∠AOB=x，则∠BOD=α-x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM=

1

2

∠AOC=

1

2

（x+20°），∠BON=

1

2

∠BOD=

1

2

（α-x），
∴∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC=

1

2

（x+20°）+

1

2

（α-x）-20°=

1

2

α-10°，
∵∠MON=60°，
∴

1

2

α-10°=60°，
解得α=140°；

（3）同（2）可得：设∠AOB=x，则∠BOD=∠AOD-x
则∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC=

1

2

（x+20°）+

1

2

（α-x）-∠BOC°=

1

2

（∠AOD-∠BOC）．