(2013?莘县二模)如图,AB为⊙O的直径,过半径OA的中点G作弦CE⊥AB,在CB上取一点D,直线CD、ED分别交直
(2013?莘县二模)如图,AB为⊙O的直径,过半径OA的中点G作弦CE⊥AB,在CB上取一点D,直线CD、ED分别交直线AB于点F和M.(1)求∠COA和∠FDM的度数...
(2013?莘县二模)如图,AB为⊙O的直径,过半径OA的中点G作弦CE⊥AB,在CB上取一点D,直线CD、ED分别交直线AB于点F和M.(1)求∠COA和∠FDM的度数;(2)已知OM=1,MF=3,请求出⊙O的半径并计算tan∠DMF的值.
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解:(1)∵OA、OC都是⊙O的半径,且G为OA的中点,
∴在Rt△OCG中,cos∠COG=
,
∴∠COG=60°即∠COA=60°;
∵
=
=
,
∴∠EDC=∠COA=60°,
∴∠EDF=120°,即∠FDM=120°;
(2)∵直径AB⊥CE,
∴AB平分CE,即AB垂直平分CE,
∴MC=ME,
∴∠CMA=∠EMA,
又∵∠FMD=∠EMA,
∴∠FMD=∠CMA,
∵∠FDM=∠COM=120°,
∴∠F=∠OCM,
又∵∠FOC=∠COM,
∴△FOC∽△COM,
∴
=
,即OC2=OM?OF=1×(1+3)=4,
∴OC=2,
∴OG=
OC=1,
∵OM=1,
∴GM=OG+OM=1+1=2.
在Rt△CGO中,CG=OC?sin∠COG=2×
=
,
又∵∠DMF=∠CMA,
∴tan∠DMF=tan∠CMA=
=
.
故⊙O的半径我2,tan∠DMF=
.
∴在Rt△OCG中,cos∠COG=
1 |
2 |
∴∠COG=60°即∠COA=60°;
∵
AC |
AE |
1 |
2 |
CE |
∴∠EDC=∠COA=60°,
∴∠EDF=120°,即∠FDM=120°;
(2)∵直径AB⊥CE,
∴AB平分CE,即AB垂直平分CE,
∴MC=ME,
∴∠CMA=∠EMA,
又∵∠FMD=∠EMA,
∴∠FMD=∠CMA,
∵∠FDM=∠COM=120°,
∴∠F=∠OCM,
又∵∠FOC=∠COM,
∴△FOC∽△COM,
∴
OF |
OC |
OC |
OM |
∴OC=2,
∴OG=
1 |
2 |
∵OM=1,
∴GM=OG+OM=1+1=2.
在Rt△CGO中,CG=OC?sin∠COG=2×
| ||
2 |
3 |
又∵∠DMF=∠CMA,
∴tan∠DMF=tan∠CMA=
CG |
GM |
| ||
2 |
故⊙O的半径我2,tan∠DMF=
| ||
2 |
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