Question

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB=OC．（1）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB=OC．（1）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由；（2）求证：△ABC是等腰三角形；（3）连接DE，那么DE与BC是否平行？为什么？

Answer 1

（1）点O在∠BAC的角平分线上．
理由：∵BD，CE是△ABC的两条高，
∴∠BEC=∠CDB=90°．
∵OB=OC，
∴∠BCE=∠DBC．
在△BCE和△CBD中，

∠BEC＝∠CDB ∠BCE＝∠DBC BC＝CB

，
∴△BCE≌△CBD（AAS），
∴CE=BD，
∴CE-OC=BD-OB，
∴OE=OD．
∴点O是否在∠BAC的角平分线上；
（2）∵△BCE≌△CBD，
∴∠EBD=∠DCB．
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）DE∥BC．
理由：如图1，
∵△BCE≌△CBD，
∴BE=CD，
∴AB-BE=AC-CD，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠AED=

1

2

（180°-∠A）．
∵∠EBD=∠DCB，
∴∠ABC=

1

2

（180°-∠A），
∴∠AED=∠ABC，
∴DE∥BC．