Question

求二重积分∫∫Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy的值，其中D是由直线y=x，y=-1及x=1围成的平面区域

求二重积分∫∫Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy的值，其中D是由直线y=x，y=-1及x=1围成的平面区域．

Answer 1

根据题意，作出积分区域D，如图所示．

∫∫

D

y[1+xe

1

2

(x2+y2)]dxdy=

∫∫

D

ydxdy+

∫∫

D

yxe

1

2

(x2+y2)dxdy
其中：

∫∫

D

ydxdy=

∫

1 ?1

ydy

∫

1 y

dx
=

∫

1 ?1

y（1-y）dy
=

∫

1 ?1

（y-y²）dy=
=(

y2

2

?

y3

3

)

|

1 ?1

=?

2

3

；

∫∫

D

yxe

1

2

(x2+y2)dxdy=

∫

1 ?1

ydy

∫

1 y

xe

1

2

(x2+y2)dx
=

∫

1 ?1

ydy

∫

1 y

e

1

2

(x2+y2)d

1

2

(x2+y2)
=

∫

1 ?1

ye

1

2

(x2+y2)

|

1 y

dy
=

∫

1 ?1

y[e

1

2

(1+y2)-ey2]dy
∵y[e

1

2

(1+y2)-ey2]为奇函数，其积分区间关于零点对称，故函数积分为0；即

∫

1 ?1

y[e

1

2

(1+y2)-ey2]dy=0；
∴

∫∫

D

yxe

1

2

(x2+y2)dxdy=

∫

1 ?1

y[e

1

2

(1+y2)-ey2]dy=0；
∴

∫∫

D

y[1+xe

1

2

(x2+y2)]dxdy=

∫∫

D

ydxdy+

∫∫

D

yxe

1

2

(x2+y2)dxdy
=?

2

3

+0=?

2

3

；
故本题答案为：?

2

3

．

Answer 2

拆成两个积分，前面函数是y，后面是xye∧1/2（x2+y2）
前面积分是－2/3，后面是奇函数，积分为零
还有，楼上的答案是对的，点差评的是几个意思？？？