Question

一道非常复杂的复合二次根式的化简……

如图，我尝试用海伦公式求一个不规则三角形的面积，但当我把数值代入后，出现了①式，然后我一直化简到②式，把底下的那个根号合并，得到③式，再套公式得到④式，但是3998开放后仍然不是一个自然数，反而比②式变得更复杂了。
我现在初二，有一道题：

初二还没有学习正弦、余弦等三角函数，但是我自己研究了几个小时，最后弄清了sin、cos的计算和解三角形的步骤，不用勾股定理和辅助线的那个方式能求吗?于是我就用三角函数求出：CD=2,AE=2,AB=2,AD=根号10，AC=根号3+3，最后想用海伦公式得到ΔACD的面积（第一个图），但是由于这个二次根式太复杂，而且没学，并不是非常熟悉。但是我想，如果用这个方式得到ΔACD的面积后，（AB×AC）/2就可以求出ΔABC的面积，所以我想把ΔACD和ΔABC两个面积加起来，最后就可以求出整个四边形ABCD的面积。

但是现在被复合二次根式给堵住了，请教高手。。。

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Answer 1

我不懂你为什麼要想这麼复杂,你是来搞笑的吗?
作DF⊥AC於F,则易证DF=EF=1,CF=√3,CD=2
又易证AB=AE=2,∴AC=AE+EF+CF=3+√3
S△ABC=1/2*AB*AC=3+√3
S△ACD=1/2*DF*AC=(3+√3)/2
∴S四边形ABCD=3/2*(3+√3)

追问

能用三角函数去解吗?为什么我想到的式子无法化简?网上没有三角函数的求解方式，这个答案你不会是复制的吧?

追答

我复制?这种初中的题目需要我复制?
用三角函数也一样的做法不是么?你已经求出了那些边长,△ABC的面积是直接套用直角三角形面积公式就可以计算.
S不一定要用海伦公式来求,本身开根号就麻烦,你自己看看你被绕到哪里去了?还有很简单的比如S=abc/4R,S=1/2*absinC,你为什麼不用呢?
AC=3+√3,CD=2,sinACD=1/2,∴S=1/2*AC*CD*sinACD=(3+√3)/2
R是外接圆半径,2R=AD/sinACD=2√10,∴R=√10
abc/4R=√10*2*(3+√3)/4√10=(3+√3)/2
懂了?

Answer 2

正弦公式 S△=1/2absinc 希望对你有用处

追问

这个我知道，余弦定理我也知道，但是现在被堵住的是复合二次根式！

追答

我帮你算过了 你算错了 S△ACD=根号下6/4（2+√3）也就是(3+√3)/2

追问

有帮助，谢谢。