Question

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已知数列{an}满足a1=2,a2=20,an+1=2an+8an-1,(n>=2)
(1)求证{an+1+2an}是等比数列
（2）求数列{an}的通项公式
（3）求数列{an}的前n项和Sn

Answer 1

1.an+1+2an=4(an+2an-1)。所以得证

2.由1中的结论知an+1+2an=4^(n-1)(a2+2a1)=4^(n-1)*24=6*4^n ---(1)

又an+1-4an=(-2)(an-4an-1),所以an+1-4an=(-2)^(n-1)*(a2-4a1)=(-2)^(n-1)*12=-6*（-2）^n -----(2）
(1)-(2)得6an=6*4^n+6*（-2）^n,an=4^n+（-2）^n

3.4^n的前n项和为4(4^n-1)/3,（-2）^n的前n项和为(-2)(1-(-2)^n)/3。所以Sn=(4^(n+1)-(-2)^(n+1)-6)/3

Answer 2

(1)因为a_{n+1}+2a_{n}=4(a_{n}+2a_{n-1}),所以这是一个以4为公比的等比数列。
(2)由a_{1}=2,a_{2}=20,得a_{2}+2a_{1}=24,于是由等比数列的通项公式，有
a_{n+1}+2a_{n}=24*4^{n-1}=6*4^{n}
由此又可知a_{n+1}-4^{n+1}=(-2)*(a_{n]-4^{n}),由此可知
a_{n}-4^{n}是以-2为公比的等差数列，其首项为a_{1}-4=-2,
所以再由等比数列的通项公式得a_{n}-4^{n}=(-2)*(-2)^{n-1}=(-2)^{n}
于是我们得到a_{n}的通项公式为
a_{n}=4^{n}+(-2)^{n}

(3)S_{n}=4*(4^{n}-1)/3+2*((-2)^{n}-1)/3