Question

无界变量不一定是无穷大，为什么？

Answer 1

例如函数f（x）=xsinx，当x=2kπ+π/2（k是整数）时，sinx=1，f（x）=x所以当x→+∞时，x=2kπ+π/2（k是整数）的这些点无限增大至+∞，当x→-∞时，x=2kπ+π/2（k是整数）的这些点无限减小至-∞。所以f（x）即无上界，也无下界，是个无界函数。但是当x=kπ（k是整数时），sinx=0，f（x）=0这函数没有间断点，任何一点的极限都不是∞。而当x→∞时，无论取多大的正数a，当|x|＞a时，都有大于a且等于kπ（k是整数时）的x使得f（x）=0，所以当x→∞时，f（x）极限不是无穷大。所以这个无界函数不是无穷大。

典型的例如y=x。y=2x等都是无界函数。

1.无界函数与无穷大量两个概念之间有严格的区别：

无界函数的概念是指某个区间上的。若对于任意的正数m，总存在某个点，使得|f(x)|>m，则称该函数是区间上的无界函数。

无穷大量是指在自变量的某个趋限过程(例)下因变量的变化趋势。若 自变量x无限接近x 0（或|x|无限增大）时，函数值|f(x)|无限增大，则称f(x)为x→x 0(或x→无穷)时的无穷大量。例如f(x)=1/(x-1) 2是当x→1时的无穷大量，f(n)=n 2是当n→∞时的无穷大量。

无穷大量必是无界量，无界量未必是无穷大量。

举例：有函数Y=X*sinX,则此函数为无界函数，但不为无穷函数。因为当X趋于无穷时，函数值关于X轴上下摆动，总有某点Y=0，所以不为无穷。

Answer 2

不一定，看如下例题

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