怎么理解“二元函数可微推不出偏导数连续”?
振荡极限不存在，所以二元函数可微，无法推出偏导数连续。
设D是二维空间R2的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的二元函数，通常记为z=f（x，y），（x，y）∈D或z=f（P），P∈D，其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。
上述定义中，与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的函数值，记作f（x，y），即z=f（x，y），函数值f（x，y）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f（D），即f（D）＝｛z|z=f（x，y），（x，y）∈D}。
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必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A.因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值。
我们还不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在，关于二元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则。
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2024-04-02 广告
因为偏导数使用一元函数导数定义的，也就是一重极限。而可微和连续都是二重极限定义的。所以这三个的关系挺乱的，并不像一元函数那么简单。最重要的是可微的数学意义并不是你所说的光滑。
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
偏导数注意：
偏导数是曲面上某点在x方向或y方向空间曲线的斜率。可以类比平面上一元函数的微分，偏微分是曲面上某点在x方向或y方向空间曲线的增量。全微分，则不再是沿曲线的增量，而是曲面上某点的增量。可以想象，曲面上过该点作一个切面，而切面的微小增量就是全微分。
