Question

如图，A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A，B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角

如图，A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A，B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角 （1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB= °；②若⊙O的半径是1，AB= ，求∠APB的度数；（2）已知O 2 是⊙O 1 外一点，以O 2 为圆心作一个圆与⊙O 1 相交于A、B两点，∠APB是⊙O 1 上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O 2 于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系，直接写出结论．

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Answer 1

(1) ①90°②∠APB=135° （2）∠APB=∠MAN-∠ANB；∠APB=∠MAN+∠ANB－180°； ∠APB=180°－∠MAN－∠ANB；∠APB=∠MAN+∠ANB

试题分析：（1）①90° ②如图，连接AB、OA、OB． 在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=  ，∴ OA 2 + OB 2 = AB 2 ∴∠AOB=90°。 当点P在优弧 AB 上时（如图1），∠APB= ∠AOB=45°； 当点P在劣弧 AB 上时（如图2）， ∠APB= （360°－∠AOB）=135°。 （2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况． 第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3， ∵∠MAN=∠APB+∠ANB， ∴∠APB=∠MAN-∠ANB。 第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4， ∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB）， ∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。 第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5， ∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°， ∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。 第四种情况：点P在⊙O2内，如图6， ∠APB=∠MAN+∠ANB。 点评：难度中等，关键在于分类讨论，区分点P在优弧和劣弧上两种情况讨论。