Question

为什么呢单调有界函数不一定有极限?

Answer 1

原因如下：

定理1：若数列{xn}极限存在，则{xn}有界。

定理2: 单调有界数列必有极限。

那么从此看出，极限存在只能推出有界并不能推出其单调性。

函数的极限就比较复杂,如果只说求某某函数的极限,别人是不明白的,还必须要指明自变量（例如x）是如何变化的。

考虑自变量的变化趋势,有x→x0（x0是某个实数,这有多少种?）与x→∞；细分的话,还有x从左边趋向于x0、从右边趋向于x0、趋向于正无穷大、趋向于负无穷大。

还不要忘记,我们研究函数的极限是有前提条件的：

研究x→x0时的极限,要求函数在x0某个去心邻域内有定义；研究x→∞时的极限,要求存在正数X,当|x|>X时函数有定义。

只有在满足前提条件下,才可以谈这个函数此时的极限存在与不存在。

只给出函数单调有界,既不知道函数的定义域是怎样的,又不知道自变量如何变化,这样情形下谈函数的极限根本就没有丝毫的意义。

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。

根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。