Question

在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使 OM ?

在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使 OM ? OP =12．（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值．

Answer 1

（1）直线ρcosθ=4在平面直角坐标系中对应的方程为x=4， 设M的坐标 （4，b），P点坐标为（x，y）， 则 b 4 = y x ，b= 4y x ， OM =（4，b）， OP =（x，y）， ∵ OM ? OP =12，4x+by=12， 所以4x+ 4y x ?y =12，x 2 -3x+y 2 =0这就是所求圆的方程，化为标准式为（x- 3 2 ） 2 +y 2 = 9 4 ； （2）因为R为l上任意一点，（x- 3 2 ） 2 +y 2 = 9 4 ； 圆心坐标（ 3 2 ，0 ），半径为： 3 2 ； 则圆心到直线x=4的距离为：4 - 3 2 = 5 2 ， 圆的半径为： 3 2 ， 所以所求RP的最小值为 5 2 - 3 2 =1．