Question

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{a n }满足a 1 =f（0），且 f( a n+1 )= 1 f(-2- a n ) （n∈N * ）（1）求证：y=f（x）是R上的减函数．（2）求证：{a n }是等差数列，并求通项a n ．（3）若不等式 (1+ 1 a 1 )(1+ 1 a 2 )…(1+ 1 a n )≥k 2n+1 对一切n∈N * 均成立，求k的最大值．

Answer 1

（1）令x=-1，?y=0，得f（-1）=f（-1）?f（0）， 由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a 1 =f（0）=1． 当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）?f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1． 设x 1 ，?x 2 ∈R且x 1 ＜x 2 ，则x 2 -x 1 ＞0，?0＜f（x 2 -x 1 ）＜1，f（x 2 ）-f（x 1 ）=f（x 1 +（x 2 -x 1 ））-f（x 1 ）=f（x 1 ）[f（x 2 -x 1 ）-1]＜0． 即f（x 2 ）＜f（x 1 ），所以y=f（x）是R上的减函数． （2）由 f( a n+1 )= 1 f(-2- a n ) 得f（a n+1 ）f（-2-a n ）=1， 所以f（a n+1 -a n -2）=f（0）． 因为y=f（x）是R上的减函数，所以a n+1 -a n -2=0， 即a n+1 -a n =2， 所以{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以a n =1+（n-1）×2=2n-1． （3）由 (1+ 1 a 1 )(1+ 1 a 2 )(1+ 1 a n )≥k 2n+1 对一切n∈N * 均成立． 知 k≤ (1+ 1 a 1 )(1+ 1 a 2 )(1+ 1 a n ) 2n+1 对一切n∈N * 均成立． 设 F(n)= (1+ 1 a 1 )(1+ 1 a 2 )(1+ 1 a n ) 2n+1 ， 知F（n）＞0且 F(n+1)= (1+ 1 a 1 )(1+ 1 a 2 )(1+ 1 a n )(1+ 1 a n+1 ) 2n+3 ， 又 F(n+1) F(n) = 2(n+1) 2n+1 2n+3 = 2(n+1) 4 (n+1) 2 -1 ＞1 ． 故F（n）为关于n的单调增函数， F(n)≥F(1)= 2 3 3 ． 所以 k≤ 2 3 3 ，k的最大值为 2 3 3