如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点，且平面DA1C⊥平
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点，且平面DA1C⊥平面AA1C1C．（1）求证：D点为棱BB1的中点...
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点，且平面DA1C⊥平面AA1C1C．（1）求证：D点为棱BB1的中点；（2）若二面角A-A1D-C的平面角为60°，求直线A1C与平面ABB1A1所成的角的大小．
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（1）证明：过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，
∴DE⊥面AA1C1C．
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，
故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，
所以DB=EF=
AA1=
BB1，所以D点为棱BB1的中点；
（2）解：延长A1D与直线AB相交于G，则过B作BH⊥A1G于点H，由三垂线定理知，A1G⊥CH
∴∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角
设AA1=2b，AB=BC=a，则在直角△A1AG中，AB=BG；
在直角△DBG中，BH=
=
在直角△CHB中，tan∠CHB=
=
=
∴
＝
，∴
=
=
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，
∴DE⊥面AA1C1C．
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，
故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，
所以DB=EF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）解：延长A1D与直线AB相交于G，则过B作BH⊥A1G于点H，由三垂线定理知，A1G⊥CH
∴∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角
设AA1=2b，AB=BC=a，则在直角△A1AG中，AB=BG；
在直角△DBG中，BH=
| BD×BG |
| DG |
| ab | ||
|
在直角△CHB中，tan∠CHB=
| BC |
| BH |
| a | ||||
|
| 3 |
∴
| b |
| a |
| ||
| 2 |
| A1A |
| AB |
| 2b |
| a |
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