Question

求微分方程y″-2y′=x+e2x满足初始条件y（0）=1，y′（0）=54的特解

求微分方程y″-2y′=x+e2x满足初始条件y（0）=1，y′（0）=54的特解．

Answer 1

由于特征方程为：r²-2r=0
解得：r₁=0，r₂=2
∴微分方程y″-2y′=0的通解为
y＝C1+C2e2x
又y″-2y′=x的特解具有形式y1*＝x(ax+b)
代入，解得：a＝b＝?

1

4

∴y1*＝?

1

4

(x2+x)
而y″-2y′=e^2x的特解具有形式y2*＝axe2x
代入，解得：a＝

1

2

∴y2*＝

1

2

xe2x
∴微分方程y″-2y′=x+e^2x的通解为：
y＝C1+(C2+

1

2

x)e2x?

1

4

(x2+x)
又满足初始条件y（0）=1，y′（0）=

5

4

∴解得：C1＝

1

2

，C2＝

1

2

∴y＝

1

2

?

1

4

(x2+x)+

1

2

(1+x)e2x