Question

已知数列{an}中，a1=1，{an}的前n项和Sn满足2Sn=an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若存在n∈N*，使

已知数列{an}中，a1=1，{an}的前n项和Sn满足2Sn=an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若存在n∈N*，使得λ≤n(n+1)an，求实数λ的最大值．

Answer 1

（1）由题意可得，当n≥2时，2S_n-1=a_n，2s_n=a_n+1
两式相减可得，2a_n=a_n+1-a_n即a_n+1=3a_n
a₂=2a₁=2
∴{a_n}是从第二项开始到等比数列，公比q=3
n≥2时，an=a2?3n-2=2?3^n-2
∴an=

1，n=1 2?3n-2，n≥2

（2）令bn=

n(n+1)

an

则n≥2时，bn=

n(n+1)

2?3n-2

b_n+1-b_n=

(n+1)(n+2)

2?3n-1

-

n(n+1)

2?3n-2

=

(n+1)(n+2)-2n

2?3n-1

=

2(n+1)(1-n)

2?3n-1

＜0
当n≥2时，b_n+1＜b_n
{b_n}是从第二项开始的单调递减数列
而b2=

2×3

2

=3，b1=

1×2

a1

=2
由λ≤

n(n+1)

an

可得，λ≤

n(n+1)

an

 max}_max=3
∴λ的最大值为3