Question

已知抛物线C：y2=-x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求OA?OB的值；（2）当△AOB的

已知抛物线C：y2=-x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求OA?OB的值；（2）当△AOB的面积为10时，求实数k的值．

Answer 1

（1）将直线方程代入抛物线方程，消去y，得，
k²x²+（2k²+1）x+k²=0，（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁?x₂=1，
又联立直线方程和抛物线方程，消去x，得，
ky²+y-k=0，则y₁y₂=-1，y₁+y₂=-

1

k

，
则有

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=1-1=0；
（2）直线l：y=k（x+1）恒过点（-1，0），
则△AOB的面积为S=

1

2

|y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2?4y1y2

=

1

2

1 k2 +4

=

10

，解得，k=±

1

6

．