Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)（1）已知椭圆的长轴是焦距的2倍，右焦点坐标为F（1，0），写出椭

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)（1）已知椭圆的长轴是焦距的2倍，右焦点坐标为F（1，0），写出椭圆C的方程；（2）设K是（1）中所的椭圆上的动点，点O是坐标原点，求线段KO的中点B的轨迹方程；（3）设点P是（1）中椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，KPN试探究kPM?KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．

Answer 1

（1）2a=2（2c），（1分）
c=1，（2分）
a²=4b²=3，（3分）
椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

＝1．（4分）
（2）设KO的中点为B（x，y）则点K（2x，2y），（6分）
把K的坐标代入椭圆

x2

4

+

y2

3

＝1中，
得

(2x)2

4

+

(2y)2

3

＝1（8分）
线段KF₁的中点B的轨迹方程为x2+

y2

3 4

＝1．（10分）
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）（11分）
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，
得

x02

4

+

y02

3

＝1    ，

x2

4

+

y2

3

＝1，（12分）
kPM＝

y?y0

x?x0

      KPN＝

y+y0

x+x0

，（13分）
k_PM?K_PN=

y?y0

x?x0

 ?

y+y0

x+x0

 ＝

y2?y02

x2?x02

=?

3

4

．（15分）
故：k_PM?K_PN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关．（16分）